För vissa elever blir det snabbt uppenbart att det saknas verktyg för att kunna lösa mer avancerade uppgifter. Återigen andra elever har en enorm vilja att lära sig mer och mer matte för att kunna accelerera och klara av gymnasiets och sedan högskolans kurser i förtid. För dessa elever och de som redan behärskar det som ni går igenom på ett visst avsnitt är det bra att gå vidare till mer avancerade metoder inom samma område. Ibland kan det fungera att ge dem en mattebok i en äldre årskurs och låta dem arbeta med motsvarande område där. För andra blir det ändå inte tillräckligt, eftersom det ärligt talat inte är så stor progression på högstadiet. Det är väldigt mycket repetition. Nedan listar jag det som jag tycker är en naturlig fortsättning inom ett område och ungefär i vilken årskurs man kan hitta det. Ibland blir det på gymnasiets kurser. Detta beror delvis på att om man tittar några år tillbaka ser man att vissa avsnitt som nu finns på gymnasiet, tidigare fanns på högstadiet.

Ekvationer och algebra

1. Ekvationer (OBS! lös alltid med metoden att göra samma på båda sidor om likhetstecknet, absolut ingen pekfinger metod)
2. Ekvationer med x på bägge sidor
3. Ekvationer med bråk t.ex. 3x/4 + 2x/3 =12, det får också finnas bråk på bägge sidor (åk8 och åk9)
4. Ekvationer med bråk i nämnaren, som löses t.ex. genom att introducera korsmultiplikation. Korsmultiplikation har eleven sedan användning av när den arbetar med likformighet och topptriangelsatsen. (åk9)
5. Andragradsekvationer och Pythagoras sats (åk9 och Ma1c)
6. Likformighet och topptriangelsatsen (åk9)
7. Ekvationssystem. Detta fanns tidigare med i åk9, men är nu flyttat till gymnasiet Ma2c, vilket jag tycker är väldigt konstigt eftersom problem som slutar med att man ska lösa ett ekvationssystem introduceras väldigt tidigt, redan i åk6. Det är ofta problem där eleverna förväntas göra ett led i huvudet, för att sedan få fram en en-variabel ekvation. Jag tycker att det är bättre att vänja eleverna vid ekvationssystemtänket redan från början. Alla förstår kanske inte från början, men de vänjer sig så sakteliga och till slut är de så vana vid det att det inte är svårt.
8. Potensekvationer (Ma1c)
9. Logaritmer, logaritmlagar, logaritmer med olika baser.
10. Differentialekvationer, Ma5

Ett annat spår att fördjupa ekvationer är:

1. Rita diagram. Detta kan man börja med redan i åk6 om inte tidigare. Diagrammen kan till en början vara av den arten att rita hur priset beror av antal köpta kg frukt samt en kasse.
2. Från detta kan man introducera beroende och oberoende variabler och att rita funktioner, samt funktionsbegreppet.
3. Räta linjens ekvation (åk9), börja med att prata om trappstegsmodellen för att sedan gå över till värdetabeller och att rita utifrån formeln. Öva att gå från graf till funktion och tvärtom.
4. Ekvationssystem med två obekanta (se ovan under punkt 7), man kan då till en början fokusera på den grafiska lösningen, men sedan komma över till den algebraiska (Ma2c).
5. Ekvationssystem med flera obekanta (Ma2c)
6. Linjens lutning och derivator
7. Primitiva funktioner och integraler

Ett tredje spår att fortsätta ekvationer på är:

1. Olika algebraiska uttryck och förenkling av dem. Multiplikation in i parentes exempel 5(2x + 4).
2. Förenkling av uttryck när det är minustecken framför parentes ex. 3(3x +4) – 4(3-2x) osv i alla möjliga varianter med minustecken överallt.
3. Konjugat- och kvadreringsreglerna (Ma2c, men detta fanns tidigare på högstadiet och jag introducerar dem senast under åk8).
4. Faktorisering, dvs. det omvända till att förenkla och multiplicera in i uttryck.
5. Övergången från konjugat- och kvadreringsreglerna till andragradsekvationer är också naturlig.

Ett fjärde spår:

1. Mönster och talserier. Börja med enkla mönster av typen och ta fram generell formel för dem. Dessa mönster kan vara av typen 5n+1.
2. Det finns många roliga mönster att hitta fortsättningen på, men främst att fundera ut den generella formeln för: t.ex. kvadrattal och triangeltal. Det finns bra och roliga problemlösningsuppgifter i problembanken som slutar i dessa typer av serier. Problembanken åk7-9
3. Aritmetriska och geometriska serier och generella formler för dem.
4. Aritmetriska och geometriska summor.
5. Pascalstriangel, fibonnaccital och det gyllene snittet.

Bråk

1. När eleverna kommer till högstadiet bör de redan behärska bråk begreppet och kunna addera och subtrahera bråk med samma nämnare.
2. Addition och subtraktion av bråk med olika nämnare
3. Multiplikation av bråk
4. Division av bråk
5. Bråk i ekvationer (se ovan under ekvationer)
6. Periodisk decimalutveckling och omvandling till exakta bråk
7. Procentberäkningar i alla möjliga tillämpningar, använd förändringsfaktor så tidigt som möjligt.
8. Upprepad procentuell förändring
9. Potenser
10. Logaritmer

Till området bråk och förenkling av bråk hör också primtal och primtalsfaktorisering och att kunna rita faktorträd. Att kunna de fyra räknesätten med bråk och att vara bekväm med att räkna med bråk i alla möjliga olika tillämpningar, ger eleverna en oerhört bra grund för fortsatta studier. Det är därför bra att eleverna behärskar detta så tidigt som möjligt.

Tal och taluppfattning

1. Delbarhetsregler, primtal och primtalsfaktorisering
2. Negativa tal och beräkningar med dem med alla fyra räknesätten.
3. Potenser, grundpotensform. Gå igenom hur tal i det decimalatalsystemet skrivs i potensform, gå även igenom hur man skriver tiondelar, hundradelar osv.
4. Binära tal: Gå även igenom hur man skriver dem i potensform och även hur tal mindre än 1 skrivs.
5. Addition, subtraktion, multiplikation och division av binära tal, samt omvandling mellan binära och decimala tal.
6. Andra talsystem än det binära, samt omvandling mellan dem, binära tal och decimala tal.

Geometri

1. Olika geometriska former och area samt volym för dessa
2. Cirkelns omkrets och area
3. Vinklar och vinkelsummor, gärna generella formler. Det finns många roliga och utmanande uppgifter om att ta reda på hur stora vinklar är i olika månghörningar som mina elever brukar tycka är kluriga och roliga att arbeta med. Här kan man gärna introducera bevis. De brukar vara relativt intuitiva och en bra start för att arbeta med bevis, som kommer in mer vid högre studier. De vinklar du kan ta in är sidovinklar, vertikalvinklar och likbelägna vinklar. När du har introducerat dessa vinklar kan eleverna få arbeta med t.ex. att bevisa att vinkelsumman i en triangel är 180 grader. Det finn flera andra bevis i t.ex. Ma1C.
4. För att kunna arbeta med bevis bör eleverna kunna använda implikation och ekvivalens. De matematiskt intresserade eleverna brukar tycka att det är roligt att bli mer matematiska i sitt språk och inte behöva använda så många ord.
5. Fortsättning efter vinklar kan vara Pythagoras sats och efter detta kan du fortsätta som efter punkt 5 överst under algebra och ekvationer.
6. En annan fortsättning efter Pythagoras sats är trigonometri (sinus, cosinus och tangens). Det finns fortsättning dels i Ma1C, men även i Ma3C. Grunderna till trigonometri fanns tidigare i åk9.

En annan fortsättning av Geometri är:

1. Att fortsätta och fördjupa funktionsbegreppet, arbeta med enpunktsformeln för rätta linjen, parallella och vinkelräta linjer och linjära anpassningar. åk9 och Ma1C
2. Därefter polynom, största och minsta värdet av en funktion. Ma2C
3. Förändringshastiget och derivator Ma3C och Ma4
4. Integraler Ma3C och Ma4

Obs! Det må vara att varje punkt endast består av några få ord, men varje punkt är ett stort område.

Sannolikhet och statistik

För sannolikhetsspåret blir fördjupningen:

1. Sannolikhet och statistik är ett av de få områden som läroböcker idag tar upp tidigare än vad de gjorde för några år sedan. Introduktion till sannolikhet kommer under åk 4-6. Därefter väntar läroböckerna till åk8 innan det återkommer, i väntan på att eleverna ska bli säkrare på bråk och procent.
2. I åk8 brukar sannolikhetsberäkningar införas, sannolikhet i flera steg, därefter träddiagram, komplementhändelse och kombinatorik i åk9.
3. I Ma1C fortsätter sannolikheten med ungefär samma saker som i åk9.
4. Det är sedan inte förrän i Ma5 som sannolikheten återkommer med mängdlära och kombinatorik.

För statistikspåret för fördjupningen:

1. Grundläggande diagram och undersökningar arbetar man med fram t.om. åk6. Under dessa år arbetar man också med medelvärde, median och typvärde.
2. I åk7 arbetar man vidare med att kunna tolka och förstå tabeller och diagram, men även fortsätta med medelvärde, median och typvärde. Nu även att kunna beräkna dem utifrån data som finns samlat i en tabell. Det finns många olika roliga problem och kluringar att göra som innebär att eleverna är säkra på medelvärde och median och vad de innebär. Dessa problem finns bland annat i gamla prov från Pythagoras Quest (Pythagoras Quest- Gamla prov). Dessa ”svårare” uppgifter kan man ta redan från åk6.
3. I åk8 fortsätter böckerna med relativ frekvens och cirkeldiagram. Detta fortsätter sedan i åk9, som därför i stort sett endast blir repetition av det man tidigare gått igenom.
4. Inom området statistik finns många undersökningar som eleverna själva kan göra och sammanställa med hjälp av olika beräkningsprogram. De kan då använda datorns överlägsenhet i att göra beräkningar, när man ska göra samma sak många gånger, men även i att hantera stora datamängder. Dessa uppgifter kan också användas som en introduktion till programmering. Exempel på en sådan uppgift finns HÄR (denna uppgift lägger jag snart in).
5. I Ma1C finns också en del med diagram och tabeller och att kunna använda kalkylprogram. I denna kurs diskuteras också hur statistik kan användas i vilseledande syfte.
6. På gymnasiet fördjupas statistik med olika typer av spridningsmått, t.ex. standardavvikelse i Ma2C.
7. I Ma2C går man även igenom normalfördelning, därefter minsta kvadratmetoden och regressionsanalys.